Para generar los 10 axiomas tomaré como espacio
vectorial el conjunto de polinomios de grado n y como ejemplo comenzaré con P1
y P2
p1 = 3*x^2+2*x+3*x; p1 p2 = 4*x^3+2*x^2+3*x+10*x;
p2 print p1.simplify() print p2.simplify()
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3*x^2 + 5*x
4*x^3 + 2*x^2 + 13*x
3*x^2 + 5*x
4*x^3 + 2*x^2 + 13*x
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El resultado de la suma de los dos vectores u +
v, está dentro del espacio vectorial V
El vector resultado de la suma, es también un
polinomio de grado n y está dentro el espacio vectorial de los polinomios de
grado n
print p1 + p2
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4*x^3 +
5*x^2 + 18*x
4*x^3 +
5*x^2 + 18*x
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Se cumple la Ley Conmutativa y el resultado está
dentro del espacio vectorial V
u + v es igual a sumar v + u
print p2 + p1
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4*x^3 +
5*x^2 + 18*x
4*x^3 +
5*x^2 + 18*x
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Se cumple la Ley Asociativa y el resultado está
dentro del espacio vectorial V
No importa como agrupes los números, cuando los
sumes o multipliques obtendrás el mismo resultado, aquí utilizaré un tercer
polinomio p3
p3=3*x^3+2*x^2+5*x^2+6*x print (p1+p2)+p3
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7*x^3 +
12*x^2 + 24*x
7*x^3 +
12*x^2 + 24*x
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print p1+(p2+p3)
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7*x^3 +
12*x^2 + 24*x
7*x^3 +
12*x^2 + 24*x
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Existe en el espacio vectorial un elemento
neutro llamado vector cero (O), en el que se satisface u + O = u
p0=0 print p1+p0
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3*x^2 +
5*x
3*x^2 +
5*x
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Existe en el espacio vectorial el inverso aditivo, por cada vector que hay en el espacio hay un vector que al sumarlo da como resultado el vector cero (O)
Definiré p_n como el inverso aditivo del vector p1,
así comprobamos que al sumar p1 + (p_n) = O
p_n=-3*x^2-2*x-3*x; p_n print p1+p_n
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0
0
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Si k es un escalar, la multiplicación ku también
existe en el espacio vectorial.
Aquí definiré k=-2, y la multiplicación dará como
resultado un polinomio de grado n que permanece en el espacio vectorial que
definimos.
k=-2 print k*p1
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-6*x^2
- 10*x
-6*x^2
- 10*x
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Se cumple la ley asociativa con la
multiplicación por escalares.
Aquí definiré otro escalar c=3 y probaremos que
k(cu)=(kc)u
c=3 print k*(c*p1)
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-18*x^2
- 30*x
-18*x^2
- 30*x
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print (k*c)*p1
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-18*x^2
- 30*x
-18*x^2
- 30*x
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Se cumple la ley distributiva para los vectores
y el resultado permanece en el espacio vectorial.
Esta ley permite sumar varios números y despúes
multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar
los resultados. Aquí voy a probar que k( u + v ) = ku + kv
print k*(p1+p2)
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-8*x^3
- 10*x^2 - 36*x
-8*x^3
- 10*x^2 - 36*x
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print (k*p1)+(k*p2)
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-8*x^3
- 10*x^2 - 36*x
-8*x^3
- 10*x^2 - 36*x
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Se cumple la ley distributiva para escalares y
el resultado permanece en el espacio vectorial.
Esta ley permite sumar varios números y despúes
multiplicar el resultado o hacer cada multiplicación por separado y luego sumar
los resultados. Aquí voy utilizar dos escalares que ya definimos anteriormente
k y c y vamos a probar que (k+c)u=ku + cu
print (k+c)*p1
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3*x^2 +
5*x
3*x^2 +
5*x
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print (k*p1)+(c*p2)
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12*x^3
+ 29*x
12*x^3
+ 29*x
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Existe el elemento identidad I, para la
multiplicación que para cada vector en V, permite hacer la operación Iu=u
Aquí voy a definir el escalar I=1
I=1 print I*p1
3*x^2 + 5*x
