jueves, 16 de febrero de 2012
miércoles, 8 de febrero de 2012
TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAIZES DE NÚMERO COMPLEJO
FÓRMULA DE MOIVRE
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
POTENCIA La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n
RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.
RAÍZ CUADRADA
Vamos a hallar :
Primero pasamos z=4+3i a forma polar:
z = 4+3i = 536.9º
La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.
Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z1=18.4º
Si k=1 --> z2=198.4º
Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2
RAÍZ CÚBICA
Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º
La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.
Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:
Si k=0 --> z1=1.621.1º
Si k=1 --> z2=1.6141.1º
Si k=2 --> z3=1.6261.1º
La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.
RAÍZ CUADRADA
Vamos a hallar :
Primero pasamos z=4+3i a forma polar:
z = 4+3i = 536.9º
La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.
Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z1=18.4º
Si k=1 --> z2=198.4º
Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2
RAÍZ CÚBICA
Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º
La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.
Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:
Si k=0 --> z1=1.621.1º
Si k=1 --> z2=1.6141.1º
Si k=2 --> z3=1.6261.1º
sábado, 4 de febrero de 2012
BIOGRAFIA DE ROWAN HAMILTON DE GUILLERMO
(Dublín, 1805- id., 1865)
Matemático irlandés. Físico, astrónomo y filósofo, concibió el álgebra como una ciencia del tiempo puro y orientó sus investigaciones hacia una matematización sistemática del mundo físico. Estructuró la teoría de los números complejos, que definió como pares de números reales, en cuyo conjunto definió una ley de composición conmutativa. De singular importancia es su aportación sobre la teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros. Elaboró una teoría matemática de la óptica y un formalismo abstracto de la mecánica clásica. Destacan sus obras Métodos generales de dinámica y Elementos de cuaterniones.
BIOGRAFIA DE GIROLAMO CARDANO
Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardano (24 de septiembre de 1501 - 21 de septiembre de 1576) fue un médico notable, además de ser un célebre matemático italiano del Renacimiento, un astrólogo de valía y un estudioso del azar. Este filósofo y destacado enciclopedista, fue autor de una de las primeras autobiografías modernas.
BiografíaNacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Sacco (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en las cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews). No obstante los obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión.
En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y a haber escrito el horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
Trabajos
Como médico en la medicina renacentista ha sido estudiado agudamente por N. Siraisi, en The Clock and the Mirror. Fue Cardano el primero en describir la fiebre tifoidea y sobre otros temas médicos, como comentarios a Galeno e Hipócrates. Su Contradicentium medicorum, de 1536, aborda temas de discusión en la medicina del siglo XVI (es un tema propio de entonces). Su El libro de los sueños es la última onirocrítica de raíces antiguas (que culminó con Artemidoro en el siglo II) y medievales), pasada por el filtro crítico de los modernos, lo que lo hace un texto valiosísimo; sería citado por Freud en su Interpretación de los sueños (1900).
Hoy es conocido por sus múltiples intereses, pese a la lentitud de la recuperación en lenguas vivas (ya que escribió en latín). Son fuentes de datos las dos enciclopedias de saberes: De subtilitate rerum (1550) y De varietate rerum (1559).
En primer lugar, destaca por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética Práctica aritmética et mensurando singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x3 + ax = b (en notación moderna), le fue comunicada a través de Niccolò Fontana (más conocido como Tartaglia) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante Cardano consideró que el juramento había expirado tras obtener información de otras fuentes por lo que polemizó con Tartaglia, a quien además cita. En realidad, el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro hacia 1515) y hoy se reconoce la honradez de Cardano que lo reconocía así en su libro. Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Ludovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.
Su libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.[cita requerida]
Hizo Cardano contribuciones a la hidrodinámica, apoyándose en esquemas del siglo XV, y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes. Publicó dos enciclopedias de ciencias naturales, Sobre la sutileza de las cosas, Sobre la variedad de las cosas, que contienen una amplia variedad de invenciones, hechos y conocimientos que hoy consideramos mágicos o supersticiosos. También introdujo la rejilla de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido hoy como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las naves llamado gimbal.
En filosofía —que ha sido estudiado a fondo por A. Ingegno, Saggio sulla filosofía di Cardano— no sólo escribió sobre temas morales (De consolaciones, De sapientia, Proxeneta), pues en De immortalitate animorum Cardanó reabrió una discusión que había tenido lugar años antes entre Pietro Pomponazzi, Agostino Nifo, Alessandro Achillini y Marcantonio Zimara, principalmente. Ellos habían discutido, en el seno de las tradiciones filosóficas de Aristóteles y Averroes, cuáles habían sido sus posturas, y qué podía decir la razón natural sobre la inmortalidad del hombre. Cardano se significó en oposición a Pietro Pomponazzi, seguidor de Alejandro de Afrodisias.
Sus dos libros biográficos, Mi vida, y Mis libros (su auto bibliografía) son dos obras maestras, que hacen además un retrato excelente de lo que pudo ser un sabio, como era, del siglo XVI, y la valoración de sus libros.
Su Opera omnia se publicó en Lyon en el siglo XVII, y ha tenido una ed. facsímil en el siglo XX (hay microforma de la Univ. de Valencia ISBN 978-84-370-1887-4). El trabajo de recuperación prosigue desde Milán en la actualidad.
BiografíaNacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Sacco (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en las cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews). No obstante los obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión.
En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y a haber escrito el horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
Trabajos
Como médico en la medicina renacentista ha sido estudiado agudamente por N. Siraisi, en The Clock and the Mirror. Fue Cardano el primero en describir la fiebre tifoidea y sobre otros temas médicos, como comentarios a Galeno e Hipócrates. Su Contradicentium medicorum, de 1536, aborda temas de discusión en la medicina del siglo XVI (es un tema propio de entonces). Su El libro de los sueños es la última onirocrítica de raíces antiguas (que culminó con Artemidoro en el siglo II) y medievales), pasada por el filtro crítico de los modernos, lo que lo hace un texto valiosísimo; sería citado por Freud en su Interpretación de los sueños (1900).
Hoy es conocido por sus múltiples intereses, pese a la lentitud de la recuperación en lenguas vivas (ya que escribió en latín). Son fuentes de datos las dos enciclopedias de saberes: De subtilitate rerum (1550) y De varietate rerum (1559).
En primer lugar, destaca por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética Práctica aritmética et mensurando singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x3 + ax = b (en notación moderna), le fue comunicada a través de Niccolò Fontana (más conocido como Tartaglia) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante Cardano consideró que el juramento había expirado tras obtener información de otras fuentes por lo que polemizó con Tartaglia, a quien además cita. En realidad, el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro hacia 1515) y hoy se reconoce la honradez de Cardano que lo reconocía así en su libro. Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Ludovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.
Su libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.[cita requerida]
Hizo Cardano contribuciones a la hidrodinámica, apoyándose en esquemas del siglo XV, y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes. Publicó dos enciclopedias de ciencias naturales, Sobre la sutileza de las cosas, Sobre la variedad de las cosas, que contienen una amplia variedad de invenciones, hechos y conocimientos que hoy consideramos mágicos o supersticiosos. También introdujo la rejilla de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido hoy como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las naves llamado gimbal.
En filosofía —que ha sido estudiado a fondo por A. Ingegno, Saggio sulla filosofía di Cardano— no sólo escribió sobre temas morales (De consolaciones, De sapientia, Proxeneta), pues en De immortalitate animorum Cardanó reabrió una discusión que había tenido lugar años antes entre Pietro Pomponazzi, Agostino Nifo, Alessandro Achillini y Marcantonio Zimara, principalmente. Ellos habían discutido, en el seno de las tradiciones filosóficas de Aristóteles y Averroes, cuáles habían sido sus posturas, y qué podía decir la razón natural sobre la inmortalidad del hombre. Cardano se significó en oposición a Pietro Pomponazzi, seguidor de Alejandro de Afrodisias.
Sus dos libros biográficos, Mi vida, y Mis libros (su auto bibliografía) son dos obras maestras, que hacen además un retrato excelente de lo que pudo ser un sabio, como era, del siglo XVI, y la valoración de sus libros.
Su Opera omnia se publicó en Lyon en el siglo XVII, y ha tenido una ed. facsímil en el siglo XX (hay microforma de la Univ. de Valencia ISBN 978-84-370-1887-4). El trabajo de recuperación prosigue desde Milán en la actualidad.
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