miércoles, 9 de mayo de 2012

SOLUCION A SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL METODO DE LA INVERSA Y GAUSS JORDAN EN EL SOFTWARE MATLAB


RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3
Introducción
En este tutorial aprenderemos  a resolver un sistema de ecuación  3 x3 por el método de la inversa en MATLAP.
Resolver el sistema
 X-2Y+3Z=11
4X+Y-Z=4
2X-Y+3Z=10















1.- Introducimos   las matrices  en MATLAP. Los elementos de las  matrices  deben ir separados por comas o bien se deja un espacio entre ellos y un punto y coma para saltarse a la otra fila tal como se muestra en la imagen.


















2.- Calculamos el determinante de la matriz A.Este se calcula con el comando det(A) tal como se muestra a continuación.










3.-Calculamos el determinante  de los menores de cada elemento de la matriz como se muestra en la siguiente imagen.Tomando en cuenta que si la suma de m(i+j) es un numero par, el determinante se multiplica por (1) y si la suma es un numero impar se multiplica por (-1).
Con los determinantes obtenidos se

forma una matriz adjunta quedando de la siguiente forma.





















4.-  Calculamos la transpuesta de la matriz adjunta quedando como:


5.-  Calculamos la inversa de la matriz, dividiendo la matriz transpuesta entre el determinante.
 Si queremos que  nuestros resultados nos queden en fracciones.

Para calcular de forma directa la inverza sin necesidad de los pasos anteriores se calcula mediante el comando inv(A).





6.- Como último paso multiplicamos la matriz inversa  por la matriz B para hallar los valores de las incógnitas.














Como podemos ver nuestro  sistema de ecuación ya está resuelta.

Sistema de ecuación  3 x3 por el método de la Gauss Jordan en MATLAP.
Primero definimos la matriz
















Después se utiliza el comando rref para obtener el resultado.

BIOGRAFIA DE ROUCHER



Nació en Sommières, (Francia) el 18 de agosto de 1832.

Era hijo de un terrateniente de Sommieres. Estudio en la “Ècole Polytechnique” donde consiguió el doctorado en ciencias.

Después de estudiar matemáticas, enseñó en el “Lycée Chalemagne” y fue profesor en el Conservatorio de Artes y Oficios en París. También fue examinador en la “Ècole Polytechnique”.

Publicó muchos libros a lo largo de su vida, algunos de ellos se pueden ver recogido en “Comptes Rendus” y alguno en el “Journal of the Ècole Polytchnique”.

Escribió también muchos libros de texto como “Traité de géométrie élémentaire”,  “Eléments de Staique Graphique” y “Coupe des pierres pécédée des príncipes du trait de stéréotomie”.

Aunque se sabe poco de este matemático, su nombre es muy conocido por el teorema de Rouché que publicó, sin demostrar,  en el “Journal of the Ècole Polytchnique” en 1862.

En 1873 fue nombrado presidente de la Societé Mathematique de France.

En 1875, Rocuhé publicó un artículo “Sur la discussion des equations du premier degré;” en “Comptes Rendus” en la Academia de las Ciencias. Este artículo, contiene su teorema sobre sistemas de ecuaciones lineales. Mas tarde, publicó versiones más completas de este teorema en 1880 en el “Journal of the Ècole Polytchnique”.

Fue elegido de la Academia de Ciencias francesa el 27 de enero de 1896.

Falleció el 19 de agosto de 1910 en Lunel (Francia).

ANÉCDOTAS Y CURIOSIDADES:
  • Su pueblo está a 30 km de la costa sur, y está situado entre Nimes y Montpellier y ahora posee una calle, con el nombre del famoso matemático.
     
  • Escribió varias obras didácticas.
     
  • No fue el único en probar el teorema que lleva su nombre, pero sí el primero en enunciarlo.
     
  • El matemático Frobenius en 1905 discrepó este teorema, tanto a Rouché como a Fontené (que hizo otra demostración) y propuso una demostración alternativa y “mejor”. Por eso en los países de habla hispana se denomina teorema de Rouché-Frobenius.
     
  • El nombre de teorema de Rouche – Fröbenius se debe al matemático español Julio Rey Pastor.
     
  • Su hijo Jacques Rouche (1862 – 1957) fue director de la Opera de París (1913 – 1945) y bastante más famoso que su padre… excepto para los alumnos de matemáticas.
FUENTES CONSULTADAS
http://www.educared.org/global/premiointernacional/finalistas/710/biograf/Brouche.html

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
  • r = r'               Sistema Compatible.
    • r = r'= n   Sistema Compatible Determinado.
    • r = r'≠ n   Sistema Compatible Indeterminado.
  • r ≠ r'               Sistema Incompatible.
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
sistema
1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.
rango
rango
r(A) = 3
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada
matriz
determinante
r(A') = 3
3. Aplicamos el teorema de Rouché.
teorema de Rouché
teorema de Rouché
4. Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.
regla de Cramer
regla de Cramer
regla de Cramer

FUENTES CONSULTADAS